Czy jest taka możliwość? Wiem, że są cookies, ale mi jest potrzebne localStorage. A może ktoś wie np gdzie przeglądarki przechowują takie informacje?

Dla jakiej przeglądarki, jakiego systemu?
Przykładowo %appdata%\Mozilla\Firefox\Profiles\xxxxxxx.default\webappsstore.sqlite

Nie można, dlatego że każda przeglądarka powinna implementować każdy jeden tego typu mechanizm jako same origin policy, czyli nie dostaniesz danych ze strony A na stronie B i odwrotnie. Jedyna możliwość to by były luki w implementacji jakichś mechanizmów przechowywania danych, a że "średniowiecze" internetu mamy już za sobą, to takie rzeczy są nie możliwe do osiągnięcia.

Nie można i bardzo dobrze, że nie można. Local Storage to jest wewnętrzna baza przeglądarki i tylko dana przeglądarka ma dostęp do tych danych. Pojedyncza sesja użytkownika odbywa się w przeglądarce. W projektach internetowych nie ma takiego pojęcia jak "użytkownik systemu operacyjnego".

Jeżeli chcesz dzielić jakiekolwiek dane, wtedy szerszym zasięgiem jest już totalna niezależność od przeglądarki, czyli przechowywanie danych u Ciebie na serwerze.