Czy jest możliwość zrobienia w php czegoś takiego, że podam link przykładowo:
http://prymusiku.wrzuta.pl/vid/file/vLkOje3uin/sambo
A skrypt ściągnie i zapisze mi go na lokalnym serwie?

oczywiście. nazywa się to curl + fopen, fwrite, fclose. ale skryptu php w ten sposób nigdy nie ściągniesz (i dobrze). zależy co chcesz wtedy ściągać